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極限的補充說明[編輯]
函數的左極限定義[編輯]
設函數在的某個去心鄰域的左半區間內有定義。若,總有,使得當滿足時,必有:
則稱函數趨於常數的左極限是,通常記作:
函數的右極限定義[編輯]
設函數在的某個去心鄰域的右半區間內有定義。若,總有,使得當滿足時,必有:
則稱函數趨於常數的右極限是,通常記作:
函數極限存在的等價條件[編輯]
函數在點處(其中)的極限是否存在等價於函數的左極限與右極限都存在且相等;與函數在點處是否有定義無關。例如:
函數在點0處沒有定義,但其在點0處的極限存在。
連續的定義與性質[編輯]
函數在某點上連續的定義[編輯]
1.左連續:設函數在點處有定義,在點處左極限存在,並且滿足:
則稱函數在點處左連續。
2.右連續:設函數在點處有定義,在點處右極限存在,並且滿足:
則稱函數在點處右連續。
3.連續:函數在點處連續等價於函數同時滿足點處的左連續性與右連續性。以上條件可表述為:
函數在開區間上連續的定義[編輯]
設滿足;若函數在開區間內每一點都連續,則稱函數在該開區間上連續,記作:
函數在閉區間上連續的定義[編輯]
設滿足;若函數在開區間內每一點都連續,且函數在點上右連續,在點上左連續,則稱在閉區間上連續,記作:
閉區間上連續函數的性質[編輯]
最大最小值性質[編輯]
若函數在閉區間上連續,則恆滿足有。
零點定理[編輯]
若函數在閉區間上連續,且,則滿足。
介值定理[編輯]
若函數在閉區間上連續,且,則滿足。
一致連續[編輯]
設函數在區間上有定義。若,,對所有滿足且的都有:
則稱函數在區間上一致連續。
一致連續與連續的關係[編輯]
函數在區間上一致連續在區間上連續(反之未必成立)。
應該注意的是,一個函數是否在某個區間上一致連續。這個事情往往和區間有關
例如,整個實數軸上不是一致連續的。但是如果把這函數的定義域限制在一個有限的區間上,那麼它是一致連續的。
函數函數在閉區間上一致連續。
函數的間斷點[編輯]
第一類間斷點[編輯]
可去間斷點[編輯]
若函數在點處的極限存在,但在點處無定義,或者是有定義,不過,則稱點為函數的可去間斷點。
跳躍間斷點[編輯]
若函數在點處滿足條件:與均存在,但,則稱點為函數的跳躍間斷點。
第二類間斷點[編輯]
若函數在點處的左右極限至少有一個不存在,則稱點為函數的第二類間斷點。
初等函數的連續性[編輯]
所有初等函數都在其定義區間內連續。
典型函數的連續性問題[編輯]
第一種表達方法[編輯]
- ,
第二種表達方法[編輯]
連續性[編輯]
用函數極限的定義很容易看出荻里克萊函數在實數域上每一點的左右極限都不存在,所以荻里克萊函數在實數域上每一點都不連續,每一點都屬於第二類間斷點。
表達式[編輯]
式中表示與的最大公約數是1,表示不包含0的整數範圍。
連續性[編輯]
這是一個周期函數,1是其周期;在內討論該函數連續性即可。
根據函數極限定義可知此函數在實數域上每一點的極限都是0,所以黎曼函數在每一無理數點上連續,在每一有理數點上不連續,而且都是可去間斷點。