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以下习题另有解答,但强烈建议先练习习题,才看解答校正错误,而不是先偷看解答。
普通算术[编辑]
数的概念[编辑]
- O → 1个O
- OO → 2个O
- OOO → 3个O
- OOOO → 4个O
- OOOOO → 5个O
- OOOOOO → 6个O
- OOOOOOO → 7个O
- OOOOOOOO → 8个O
- OOOOOOOOO → 9个O
- OOOOOOOOOO → 10个O
习题:
- 以下的图形共有几个O?
- OOOOO → ?个O
- OOO → ?个O
- OOOOOOOO → ?个O
- O → ?个O
- OOOOOO → ?个O
- 试画出指定个数的O:
- 4个O
- 2个O
- 7个O
- 10个O
- 9个O
数的大小关系[编辑]
哪边的O比较多?
1. OOOOOOOO、OOOOO
2. OOOO、OOOOOOOOO
3. OOOOOOOOOO、OOOOOOO
4. OOOOO、OOOOOO
假设有两个数字,若该数字代表的O比较多,则该数字比较大。
大于、小于符号分别以“
”、“
”表示,开口一边的数字比较大,若
则称A小于B,若
则称A大于B。
例子:
→
→ 4大于1
→
→ 2小于5
→
→ 6大于4
→
→ 7小于8
加法的符号是“
”,读作“加号”,加号前的数称为“被加数”,加号后的数是“加数”,等号后面的答案称为“和”,如下例题:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{1}\\+{\underline {1}}\\{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc0e629637ee6d9079099e6db96879f69d0ee9cf)
1是被加数,它被“加上”某个特定的数值1,也就是加数,得到和2。
习题:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
减法的符号是“
”,读作“减号”,减号前的数称为“被减数”,减号后的数是“减数”,等号后面的答案称为“差”,如例题:
36是被减数,从这个数中被“减掉”11;导致别的数的数值减少的数就是减数(此例中的11)。36被11减,得到差25。
如果被减数小于减数,就会出现负数。如:
减法也是加法的逆算,若将减数加上差可得被减数,就拿上面的例子来说明:
,其中36是被减数,11是减数,25是差。
![{\displaystyle {\begin{aligned}{36}\\{\underline {-11}}\\{25}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/537e0e4fe114baf8d7bdda07f633af7d23828e62)
将减数11加给25,即
得到原来的被减数。
另外以下是退位减法的计算方式:
例如:238-74=?
我们可列竖式计算:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{238}\\{\underline {-74}}\\{}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6b9136987cfe40519a333a86397a7a7f27cbb15)
先计算个位数的部分:8-4=4
所以个位数先写上4。
![{\displaystyle {\begin{aligned}{238}\\{\underline {-74}}\\{4}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f63b0301ce049af9e643e058168445f9f9dda5d)
十位数不够减,可以向百位数拿个1过来,变成13-7,运用口诀-7=-10+3,13-10+3=6,所以十位数先写上6。
![{\displaystyle {\begin{aligned}{238}\\{\underline {-74}}\\{64}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5780b8f321553b5f69d80f7e612c555ceaf3b412)
因为我们已经从百位数的2拿1走了,所以百位数剩下1。
![{\displaystyle {\begin{aligned}{238}\\{\underline {-74}}\\{164}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/485cfc5334a13627e9f30e7416e5eebf84e34312)
所以得到的解:238-74=164
习题:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
乘法的符号是“
”或“
”,在电脑上常以“
”表示,读作“乘号”,乘号前的数称为“被乘数”,乘号后的数是“乘数”,等号后面的答案称为“积”,如例题:
。若乘数及被乘数是10或以下,那么我们便要依赖乘法表来计算。此外,也可于被乘数或乘数加上括号去代替乘号,如例题:
。
附录的#乘法表,被乘数是1时,不必背诵。背诵其他九九乘法的积时,由简至难的被乘数顺序一般认为是2、5、4、8、3、6、9、7。
乘法的法则:
- 交换律:
![{\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/310a59fb178014c0bafca46243fa280d7838a673)
- 结合律:
![{\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d27c3b680bd94bc409f7704de0cb7519d1d7bf30)
- 分配律:
![{\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bef04839940b9b2f33028670da2930e139873789)
![{\displaystyle x\cdot 1=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f32d3aa48ec6fa10f6432548640b212bbc2ad281)
![{\displaystyle x\cdot 0=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44b1b207154bd1e280dfdeba3c7f12840a184ff2)
习题:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
除法的符号是“
”,或以分线表示,在电脑上常以“
”表示,它们均读作“除号”,除号前的数称为“被除数”,除号后的数是“除数”,等号后面的答案称为“商”,如例题:
。若除数及被除数是10或以下,那么我们便要依赖乘法表来计算。另外,部分数被除后可能出现循环小数或无限小数,那么便需要转化成分数来表示(有关小数和分数的资料,将会在下章介绍)。
另外,除的意义为“将一份平均地分为多份”,因此所有数除以零是无效(meaningless)的。
除法可以解读成“重复的减法”。
例如 :
,就好像
,
,
被
减了两次就变成
= ?
,因值已经低于0了,不能采用!
被
连减了3次,
就是余数。所以
= 3余3
除法的法则:
![{\displaystyle x/1=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562779ca5b116e1098aaa5d38b1c1a1f6133a5de)
(
≠
)
= ∞,无穷大
= 不定值
= 负无限
习题:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
等同于
自乘
次,即
。
- 主页面:算术/开方
开方是乘方的逆运算。
四则运算[编辑]
所谓四则运算,是指数与数之间的加、减、乘、除这四种基本运算。括号
之内的部分要先计算,然后四则运算要先乘除后加减。
例题:
上题为:
在此步看见
与
可以把他们相约 改写为
也称跳步
习题:
?
?
?
?
?
小数与分数[编辑]
- 小数就是整数和整数之间的数。整数和小数之间会有一个点,称为“小数点”。例:3.5 ,4.5 ,8.45.
- 分数类似小数,表示方式是在两个数字之间加上一条线。通常下面是分母,代表共有多少份。上面是分子,也就是占多少份。例:5/3
习题:
请分辨出分数和小数.
- 3.5
- 2/5
- 6.7
- 5/3
- 10/13
- 4.7
百分率[编辑]
百分率亦类似小数,表示的方法是在一个数字后加上百分比符号"%"。100%亦等于1。百分率的用途有很多,有计算几率、表示数量等,例:35%, 48%.
注意:"%"的意思是百分之一,并不是除以100。
附录一:速算技巧[编辑]
自古以来,人们总结了很多速算技巧。利用这些技巧,在很多情况下,能够极大地提高人们的计算速度。
减法速算[编辑]
- 两数交叉型减法速解法:
- 例如:
(由6和3所组成的算式,6用3去减,再乘以9)。
- 10的n次方减某数:
,速算法为将
视为
,并分拆各数位(
),然后各数位相减(
),得出最终结果(
)。
乘法速算[编辑]
- 乘以5的数:
- 数字乘以5:
,速算法为将36乘以10(
),再将结果除以2(
)。
- 乘以11的数:
- 两位数乘以11:
,速算法为将6、3两数之和(
),插入36的中间,(如和超过10则进位),即
。
- 三位数乘以11:
,速算法为将
、
插入5、6的中间,即
。
- 四位数乘以11:
,速算法为将
拆成
,再用
去乘它们,又
,
,故
。
,速算法为将
拆成
,再用
去乘它们,又
,
,故
。
- 乘以111的数:
- 两位数乘以111:
,速算法为将6、3两数之和
,加两次,插入36的中间,(如和超过10则进位),即
。
- 三位数乘以111:
,速算法为将
拆成
,再用
去乘它们,又
,
,故
。
- 两位数乘以121:
,速算法为将
拆为
。
格子乘法[编辑]
- 主页面:w:格子乘法
第一步:画带斜线的格子,将第一数(58)写在格子顶部,第二数(213)书写着格子的右侧如图,格子斜线下方写下乘积的个位数,格子斜线之上写入乘积的十位数。
第一步
第二步:将每个格子顶上数字与同一格子右边的数字相乘,将乘积逐个写入格子内,然后自下而上按斜线将数字相加,将所得的和写在格子图之下或左边:
,将4写在斜线对齐的格子图下边。
,将和的个位数“5”写在斜线对齐的格子下边,十位数进位到下一位斜线中如图
,将和的个位数写在斜线对齐的格子边上(左边),将十位数进位。
,记入格子左边
![{\displaystyle 1=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25d99fe618d7f25081f5f92fb9556b41e772bddc)
第二步
第三步:从格子左边自上而下,接格子下边自左至右,读出乘积:12354
所以
第三步
除法速算[编辑]
- 除以5的数:
- 数字除以5:
,速算法为将36除以10(
),再将结果乘以2(
)。
- 除以11的数:
- 数字除以11:
,速算法为从左侧依序删除数字,并记录删除的数字,然后再在下一个数位减去删除的数字。
从左侧删除一位数字之后为
,记录
。
。
从左侧删除一位数字之后为
,记录
。
。
从左侧删除一位数字之后为
,记录
。
。
从左侧删除一位数字之后为
,记录
。
。
- 最后将从左侧依序删除的数字按照数位顺序串联成一个完整的数字:
。
- 下方为遇到特殊情况时的处理方式:
。
从左侧删除一位数字之后为
,记录
。
- 但
的结果为负数:此时将将原先记录的数字减1,改记录
;然后将减数的首数位减一,并在被减数的首数位前添加数位1,得
。
- 但此时结果的前两位数字为
,无法进行下一步行动,否则会陷入死循环。此时应该将
视为一个独立的数位整体,然后执行下一步行动。
从左侧删除(技术上的)一位数字之后为
,记录
。
的结果为负数。
- 此时将原先记录的数字减1,改记录
。然后将减数的(技术上的)首数位减一,并在被减数的首数位前添加数位1,得
。
从左侧删除一位数字之后为
,记录
。
。
- 最后将从左侧依序删除的数字按照数位顺序串联成一个完整的数字:
。
除以7[编辑]
7是很特殊的数字,而求除以7的小数值往往令人头疼。其实除以7的计算中蕴藏着非常简单的规律。请看:
看出规律没有?
,后面的数刚好是前面的两倍,
,而
刚好进一位就成57,后面
,
,
,
,
正好都是这串数中的一段,只是起始位置不同而已。只要记住142857这串数,就可以很易算出所有除以7的值。
高中化学有条定理,这规律非常有用:1摩任何气体的体积都接近22.4升。而
,
,在计算中,3.2这因子很易约去,而知道除以7的规律,这种计算往往就变得很快。
乘方速算[编辑]
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Wikipedia%27s_W.svg/25px-Wikipedia%27s_W.svg.png)
建议阁下在阅读此节前先阅读并熟记
§ 乘方表一节的内容。
- 10至19的乘方:
![{\displaystyle (10+a)^{2}=10\times (10+a)+10a+a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2fee6d21be4e7d3f1a56f522e6609abc2aa1654)
- 20至99的乘方:
- 同前式,但须将20至99之间的数取近似值至十位,并将原式中的10替换成此数。
公式可以将繁复的计算变易。
- 分配率:
![{\displaystyle (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7fb0d8960937e305dab7a7edbc7a3ddcf411f5)
- 和平方:
![{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e790659d23b83235c75b9954ba869c53dd1eb6)
- 三数和平方:
![{\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4824ee6b31c6b7caca86d3a4faf6ffcbd57a0d34)
- 差平方:
![{\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a66116861b14f3a6eeac050cbafcbf07562c5268)
- 平方差:
![{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a6bfb6789247f87b44050ca56a610a1241a2fd9)
- 和立方:
![{\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98ef62718784cde29ee2d8fceccc8ad4ea4fe32d)
- 差立方:
![{\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcb14b649d077d09fc515bf6c1fc13e6d14ece4c)
- 立方和:
![{\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd22c225069feac0eb3e3b285fcd28f4e73fc87)
- 立方差:
![{\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8b3ca2806e11068cc58e75ff83a110c9a4121cb)
![{\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505b1999bfc9b748561ce425cb7c2e461c7b2904)
![{\displaystyle a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}=(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbe3460ce3e00ce1988e6d1f37f26abae5091ce3)
特殊公式[编辑]
![{\displaystyle 1^{2}+1=2^{2}-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bdcc7a7a60642b65e5594717c992cf61a6243fe)
![{\displaystyle 2^{2}+2=3^{2}-3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8010bbb6c567d00d5bdd207934b9cce677e8de2)
![{\displaystyle 3^{2}+3=4^{2}-4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07474ff72b004fb3f8f0663ad2452a5d65d54ce3)
![{\displaystyle 4^{2}+4=5^{2}-5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1d2da8e83316b17bad1746ca34af778b85acfdd)
![{\displaystyle 99^{2}+99=100^{2}-100}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17ff8063c3a219a9118820d4437869d1a3d457db)
已知
,求a的值。
解答:
附录二:各种表格[编辑]
加法表[编辑]
+
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
乘法表[编辑]
×
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
1
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
|
2
|
4
|
|
|
|
|
|
|
|
3
|
3
|
6
|
9
|
|
|
|
|
|
|
4
|
4
|
8
|
12
|
16
|
|
|
|
|
|
5
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
|
|
|
|
6
|
6
|
12
|
18
|
24
|
30
|
36
|
|
|
|
7
|
7
|
14
|
21
|
28
|
35
|
42
|
49
|
|
|
8
|
8
|
16
|
24
|
32
|
40
|
48
|
56
|
64
|
|
9
|
9
|
18
|
27
|
36
|
45
|
54
|
63
|
72
|
81
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
乘方表[编辑]
^
|
2
|
3
|
1
|
1
|
1
|
2
|
4
|
8
|
3
|
9
|
27
|
4
|
16
|
64
|
5
|
25
|
125
|
6
|
36
|
216
|
7
|
49
|
343
|
8
|
64
|
512
|
9
|
81
|
729
|
对数表[编辑]
常用对数表[编辑]
log
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
0000
|
0043
|
0086
|
0128
|
0170
|
0212
|
0253
|
0294
|
0334
|
0374
|
11
|
0414
|
0453
|
0492
|
0531
|
0569
|
0607
|
0645
|
0682
|
0719
|
0755
|
12
|
0792
|
0828
|
0864
|
0899
|
0934
|
0969
|
1004
|
1038
|
1072
|
1106
|
13
|
1139
|
1173
|
1206
|
1239
|
1271
|
1303
|
1335
|
1367
|
1399
|
1430
|
14
|
1461
|
1492
|
1523
|
1553
|
1584
|
1614
|
1644
|
1673
|
1703
|
1732
|
15
|
1761
|
1790
|
1818
|
1847
|
1875
|
1903
|
1931
|
1959
|
1987
|
2014
|
16
|
2041
|
2068
|
2095
|
2122
|
2148
|
2175
|
2201
|
2227
|
2253
|
2279
|
17
|
2304
|
2330
|
2355
|
2380
|
2405
|
2430
|
2455
|
2480
|
2504
|
2529
|
18
|
2553
|
2577
|
2601
|
2625
|
2648
|
2672
|
2695
|
2718
|
2742
|
2765
|
19
|
2788
|
2810
|
2833
|
2856
|
2878
|
2900
|
2923
|
2945
|
2967
|
2989
|
20
|
3010
|
3032
|
3054
|
3075
|
3096
|
3118
|
3139
|
3160
|
3181
|
3201
|
21
|
3222
|
3243
|
3263
|
3284
|
3304
|
3324
|
3345
|
3365
|
3385
|
3404
|
22
|
3424
|
3444
|
3464
|
3483
|
3502
|
3522
|
3541
|
3560
|
3579
|
3598
|
23
|
3617
|
3636
|
3655
|
3674
|
3692
|
3711
|
3729
|
3747
|
3766
|
3784
|
24
|
3802
|
3820
|
3838
|
3856
|
3874
|
3892
|
3909
|
3927
|
3945
|
3962
|
25
|
3979
|
3997
|
4014
|
4031
|
4048
|
4065
|
4082
|
4099
|
4116
|
4133
|
26
|
4150
|
4166
|
4183
|
4200
|
4216
|
4232
|
4249
|
4265
|
4281
|
4298
|
27
|
4314
|
4330
|
4346
|
4362
|
4378
|
4393
|
4409
|
4425
|
4440
|
4456
|
28
|
4472
|
4487
|
4502
|
4518
|
4533
|
4548
|
4561
|
4579
|
4594
|
4609
|
29
|
4624
|
4639
|
4654
|
4669
|
4683
|
4698
|
4713
|
4728
|
4742
|
4757
|
30
|
4771
|
4786
|
4800
|
4814
|
4829
|
4843
|
4857
|
4871
|
4886
|
4900
|
自然对数表[编辑]
1
|
0
|
2
|
0.693147180559945
|
3
|
1.09861228866811
|
4
|
1.386294361119891
|
5
|
1.6094379124341
|
6
|
1.791759469228055
|
7
|
1.945910149055313
|
8
|
2.079441541679836
|
9
|
2.19722457733622
|
10
|
2.302585092994046
|
11
|
2.397895272798371
|
12
|
2.484906649788
|
13
|
2.564949357461537
|
14
|
2.639057329615258
|
15
|
2.70805020110221
|