閱讀指南[編輯]
本節介紹的內容屬於高中數學的拓展知識,並不要求大多數中學生了解。
萬能公式在後續的積分學課程中會有一定的用途,是三角換元的一種常見技巧。三倍角公式則不是很重要,也不需要記憶,但其推導不算複雜,可以作為提升基礎的例題。
基礎知識[編輯]
萬能公式[編輯]
萬能公式也叫正切半角公式(tangent half-angle formulas),是一組只用正切函數表示其它三角函數的公式統稱,它們形式相似,都只含有原角大小一半的正切值。
三倍角的正弦、餘弦、正切公式[編輯]
求一個角的三倍的三角函數值,可以套用2次二倍角公式,從而得到三倍角公式(formulae for triple angles)。
三倍角的正、餘弦公式還有另一種形式,但需要在推導過程中對2個同類型三角函數之和或之差使用和差化積技巧:
三倍角的常見公式列舉如下:
![{\displaystyle \sin(3x)=3\sin x-4\sin ^{3}x=4\sin x\sin({\frac {\pi }{3}}+x)\sin({\frac {\pi }{3}}-x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ee4380d04e591b083c9f67d4daa9e6cbabd46dd)
![{\displaystyle \cos(3x)=4\cos ^{3}x-3\cos x=4\cos x\cos({\frac {\pi }{3}}-x)\cos({\frac {\pi }{3}}+x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/811e86da0ac7cb572d79eebc0f0973a65c19274c)
![{\displaystyle \tan 3x=\tan x\tan({\frac {\pi }{3}}+x)\tan({\frac {\pi }{3}}-x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48faa35d0d9b53a55b2a510401dbaaa8617abbb1)
上述正弦和餘弦的三倍角公式的前半部分都比較簡單,考試時萬一需要用到,完全可以現場推導;後半部分形式統一,比較好記,但是推導步驟較多。
相關例題:在三角形ABC中,角A、B、C的對邊長度分別是a、b、c。已知
,求c的值。
答案:
。
多倍角公式簡介[編輯]
n倍角的正弦、餘弦公式是比較繁瑣的求和式,需要使用二項式係數表示,求和時還需要區分奇數情形與偶數情形:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(n\theta )&=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta \\\cos(n\theta )&=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b44c38be1c8010756d4f5ec7511b867ff629ef88)
上式中的求和指標k應該取遍滿足式子中奇偶條件的所有不超過n的非負整數。
巴夫努提·切比雪夫通過遞歸求解的思路,也得到了同樣的結果。
例如,他將
寫成
、
和
的如下遞推式:
![{\displaystyle \cos(nx)=2\cdot \cos x\cdot \cos((n-1)x)-\cos((n-2)x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44719ce49c46abac669d34b1e014860976a04584)
類似地,還有:
![{\displaystyle \sin(nx)=2\cdot \cos x\cdot \sin((n-1)x)-\sin((n-2)x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13aca6be21447f4663211ceafbf023367a497548)
![{\displaystyle \tan(nx)={\frac {\tan((n-1)x)+\tan x}{1-\tan((n-1)x)\tan x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/996399b87f85a01a5552f77dd2a27ab22f22bcb5)
知識背景:
和
滿足的函數關係
是一種以n為參數的知名多項式,叫做第一類切比雪夫多項式。
補充習題[編輯]
參考資料[編輯]
外部連結[編輯]