本單元將介紹畢氏定理。關於其他直角三角形邊長關係,請參見第五冊 1-5 三角比。
直角三角形的兩股及斜邊[编辑]
圖一。此為一直角三角形。
圖二。由三個正方形組成。每個方格邊長皆為1cm。
有一個
為直角三角形,如圖一。∠
為該三角形之直角,其鄰邊
和
被稱為直角三角形的「股」,對邊
被稱為直角三角形的「斜邊」。
股及斜邊的關係[编辑]
請看圖二,每個方格邊長皆為1公分。該圖有3個正方形,分別為
、
、
,而其中還有一個以
、
、
三線段組成的直角
。
仔細觀察會發現:正方形
和
面積的和與
相同。
畢氏定理[编辑]
由上面的觀察可得出:
正方形
面積+正方形
面積=正方形
面積
而若將直角
拉出,並令兩股分別為
、斜邊為
,則:
此即為畢氏定理,也可以稱為畢達哥拉斯定理或勾股定理等,為古希臘數學家畢達哥拉斯所發現。
其他形式[编辑]
經過移項後也可以寫成
或
經過開根號後還可以寫成
、
、
畢氏數[编辑]
畢氏數也可以稱為勾股數或商高數等,是指符合畢氏定理的
三數。常見
互質的畢氏數有:
平面座標上兩點距離[编辑]
圖三。平面座標上求兩點距離。
今有三個點
在直角座標平面上,如圖三。若要求
點和
點的距離,即為求
,可以用這個方法:
1.做兩直線分別通過
點和
點並分別平行兩軸交於P點
2.做
此時形成一個直角
,即可使用畢氏定理
![{\displaystyle {\overline {AP}}^{2}+{\overline {CP}}^{2}={\overline {AC}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee282ec091cce061fc618c2d238a8f7201c39a6)
![{\displaystyle \Rightarrow |X_{P}-X_{A}|^{2}+|Y_{P}-Y_{C}|^{2}={\overline {AC}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b6853259e67baffba835e03f0d7be4857fdf0e0)
![{\displaystyle \Rightarrow {\overline {AC}}={\sqrt {(X_{P}-X_{A})^{2}+(Y_{P}-Y_{C})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eb15071125d89488a470ade67ec255dec4a39a4)
而
點的
座標必為
其中一點的
座標,
點的
座標必為
中另一點的
座標,因此公式可以改寫成
![{\displaystyle \Rightarrow {\overline {AC}}={\sqrt {(X_{A}-X_{C})^{2}+(Y_{A}-Y_{C})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22121e1d483a63b6b1b0ee4e0021ad0a7fbadc09)
此即為兩點距離公式。
將
點座標帶入可得![{\displaystyle {\overline {AC}}={\sqrt {37}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85f648ce89a312f229dc159a8a7eee4e5ad9898e)
同理,若要求
,則將
點座標帶入得
習題圖一
|
習題圖二
|
1.如習題圖一,已知
,
,
,則![{\displaystyle {\overline {DC}}=?}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31982836fd6d3950adb7dd631e0bae5a7e9e25fa)
(A)
(B)
(C)
(D) ![{\displaystyle {\sqrt {41}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb71c083a6fb076eeb6f6ce0d176a7ffe0246cd5)
顯示/隱藏該題解答及解析
解析圖一
2.承上題,四邊形
的面積為多少平方單位?
(A)
(B)
(C)
(D) ![{\displaystyle {\sqrt {41}}+10}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/720106a5c05465d808a644b5ce7a3befd919ddb9)
顯示/隱藏該題解答及解析
答案:(B)
解析:
四邊形ABCD面積
![{\displaystyle {\begin{aligned}&=\triangle ABC+\triangle ADC\\&={\frac {4\times 5}{2}}+{\frac {2\times {\sqrt {37}}}{2}}\\&=10+{\sqrt {37}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7a7906b18996d964aee4bf35bf2eefcfd628075)
故選(B)。
解析圖一
3.如圖,小名拿著3.5m的梯子,在離牆2.8m處斜放於牆邊,唯恐梯子下滑,他又將梯腳往牆的方向推近0.7m,則梯頂上移了多少m?
(A) 0.1 (B) 0.5 (C) 0.7 (D) 2.1 m
顯示/隱藏該題解答及解析
答案:(C)
解析:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\sqrt {(3.5)^{2}-(2.8)^{2}}}=2.1\\&{\sqrt {(3.5)^{2}-(2.8-0.7)^{2}}}={\sqrt {(3.5)^{2}-(2.1)^{2}}}=2.8\\&2.8-2.1=0.7(m)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5fb081b18273a9fb6b687eaa9ed275b5a11448)
故選(C)。
1.有一個周長為36公分的等腰三角形,其腰長為11公分,求此三角形的面積。
三角形的面積=底×高÷2
底邊的長度,用11減掉36兩次:
36-11-11=14公分
底邊上的高將底邊分成相等的兩段,一段為7公分,因其腰長為11公分,依畢氏定理,得:
高=
公分
面積=
平方公分。