本单元将介绍毕氏定理。关于其他直角三角形边长关系,请参见第五册 1-5 三角比。
直角三角形的两股及斜边[编辑]
图一。此为一直角三角形。
图二。由三个正方形组成。每个方格边长皆为1cm。
有一个
为直角三角形,如图一。∠
为该三角形之直角,其邻边
和
被称为直角三角形的“股”,对边
被称为直角三角形的“斜边”。
股及斜边的关系[编辑]
请看图二,每个方格边长皆为1公分。该图有3个正方形,分别为
、
、
,而其中还有一个以
、
、
三线段组成的直角
。
仔细观察会发现:正方形
和
面积的和与
相同。
毕氏定理[编辑]
由上面的观察可得出:
正方形
面积+正方形
面积=正方形
面积
而若将直角
拉出,并令两股分别为
、斜边为
,则:
此即为毕氏定理,也可以称为毕达哥拉斯定理或勾股定理等,为古希腊数学家毕达哥拉斯所发现。
其他形式[编辑]
经过移项后也可以写成
或
经过开根号后还可以写成
、
、
毕氏数[编辑]
毕氏数也可以称为勾股数或商高数等,是指符合毕氏定理的
三数。常见
互质的毕氏数有:
平面座标上两点距离[编辑]
图三。平面座标上求两点距离。
今有三个点
在直角座标平面上,如图三。若要求
点和
点的距离,即为求
,可以用这个方法:
1.做两直线分别通过
点和
点并分别平行两轴交于P点
2.做
此时形成一个直角
,即可使用毕氏定理
![{\displaystyle {\overline {AP}}^{2}+{\overline {CP}}^{2}={\overline {AC}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee282ec091cce061fc618c2d238a8f7201c39a6)
![{\displaystyle \Rightarrow |X_{P}-X_{A}|^{2}+|Y_{P}-Y_{C}|^{2}={\overline {AC}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b6853259e67baffba835e03f0d7be4857fdf0e0)
![{\displaystyle \Rightarrow {\overline {AC}}={\sqrt {(X_{P}-X_{A})^{2}+(Y_{P}-Y_{C})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eb15071125d89488a470ade67ec255dec4a39a4)
而
点的
座标必为
其中一点的
座标,
点的
座标必为
中另一点的
座标,因此公式可以改写成
![{\displaystyle \Rightarrow {\overline {AC}}={\sqrt {(X_{A}-X_{C})^{2}+(Y_{A}-Y_{C})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22121e1d483a63b6b1b0ee4e0021ad0a7fbadc09)
此即为两点距离公式。
将
点座标带入可得![{\displaystyle {\overline {AC}}={\sqrt {37}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85f648ce89a312f229dc159a8a7eee4e5ad9898e)
同理,若要求
,则将
点座标带入得
习题图一
|
习题图二
|
1.如习题图一,已知
,
,
,则![{\displaystyle {\overline {DC}}=?}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31982836fd6d3950adb7dd631e0bae5a7e9e25fa)
(A)
(B)
(C)
(D) ![{\displaystyle {\sqrt {41}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb71c083a6fb076eeb6f6ce0d176a7ffe0246cd5)
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解析图一
2.承上题,四边形
的面积为多少平方单位?
(A)
(B)
(C)
(D) ![{\displaystyle {\sqrt {41}}+10}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/720106a5c05465d808a644b5ce7a3befd919ddb9)
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答案:(B)
解析:
四边形ABCD面积
![{\displaystyle {\begin{aligned}&=\triangle ABC+\triangle ADC\\&={\frac {4\times 5}{2}}+{\frac {2\times {\sqrt {37}}}{2}}\\&=10+{\sqrt {37}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7a7906b18996d964aee4bf35bf2eefcfd628075)
故选(B)。
解析图一
3.如图,小名拿著3.5m的梯子,在离墙2.8m处斜放于墙边,唯恐梯子下滑,他又将梯脚往墙的方向推近0.7m,则梯顶上移了多少m?
(A) 0.1 (B) 0.5 (C) 0.7 (D) 2.1 m
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答案:(C)
解析:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\sqrt {(3.5)^{2}-(2.8)^{2}}}=2.1\\&{\sqrt {(3.5)^{2}-(2.8-0.7)^{2}}}={\sqrt {(3.5)^{2}-(2.1)^{2}}}=2.8\\&2.8-2.1=0.7(m)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5fb081b18273a9fb6b687eaa9ed275b5a11448)
故选(C)。
1.有一个周长为36公分的等腰三角形,其腰长为11公分,求此三角形的面积。
三角形的面积=底×高÷2
底边的长度,用11减掉36两次:
36-11-11=14公分
底边上的高将底边分成相等的两段,一段为7公分,因其腰长为11公分,依毕氏定理,得:
高=
公分
面积=
平方公分。