阶段一:变形去除三次项[编辑]
1.
以
代入
2.得
,令其三根为
阶段二:变身为二次方程式[编辑]
3.
令![{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=u+v\\x_{2}=u\omega +v\omega ^{2}\\x_{3}=u\omega ^{2}+v\omega \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/855c113331606cd96d715808356676b6916cbd50) | ![{\displaystyle \Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469b737d167b9b28a74e27c7f5e35b5ea9256100) | ![{\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b49e885cdcfc022717f4aa9e5e8e367f4fdb7aca) | ![{\displaystyle \Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469b737d167b9b28a74e27c7f5e35b5ea9256100) | ![{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\\x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=-3uv=p\\-x_{1}x_{2}x_{3}=-(u^{3}+v^{3})=q\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0a78f5a5ebced657b39b8c9acb66b54802e042a) |
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4.
设![{\displaystyle {\begin{cases}y_{1}=u^{3}\\y_{2}=v^{3}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2243b17142f6d48158fd813d0d122cc25bd13700) | ![{\displaystyle \Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469b737d167b9b28a74e27c7f5e35b5ea9256100) | ![{\displaystyle {\begin{cases}y_{1}+y_{2}=-q\\y_{1}y_{2}=-({\frac {p}{3}})^{3}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b27f4f2f6ea5f51e482d323e4e6d1ed66fe701) |
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5.故
为
的两根
阶段三:以二次方程式之两根求三次方程式之三根[编辑]
6.
![{\displaystyle u={\sqrt[{3}]{y_{1}}},v={\sqrt[{3}]{y_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ba02397f0aaecba42982144056b34956ca0091) | ![{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=u+v\\x_{2}=u\omega +v\omega ^{2}\\x_{3}=u\omega ^{2}+v\omega \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/855c113331606cd96d715808356676b6916cbd50) |
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例题一[编辑]
题目:
为
的两根,分别为 -1,-1,各开三方后分别为 -1,-1
的三根为 -1+-1,-1ω+-1ω2,-1ω2+-1ω,即 -2,1,1
例题二[编辑]
题目:
为
的两根,分别为 8,8,各开三方后分别为 2,2
的三根为 2+2,2ω+2ω2,2ω2+2ω,即 4,-2,-2